קיץ 2021 מועד א – שאלה 1 סעיף באינדוקציה 571 · בגרות 571

אינדוקציה · שאלון 571

קיץ 2021 מועד א – שאלה 1 סעיף ב

פרק 6 – שאלות בגרות 571 – אינדוקציה

1נוסח השאלה

2סעיף ב – איזו טענה נכונה

3סעיף ב – הוכחת טענה I באינדוקציה

📄 נוסח השאלה

לפניך שתי טענות. קבע איזו מהן נכונה לכל n טבעי, והוכח אותה באינדוקציה.

I. 12 · 3 + 13 · 4 + …

… + 1(n + 1)(n + 2) = n2n + 4

II. 12 · 3 + 13 · 4 + …

… + 1(n + 1)(n + 2) = n3(n + 1)

סעיף ב – איזו טענה נכונה

… + 1(n + 1)(n + 2) = n2n + 4
… + 1(n + 1)(n + 2) = n3(n + 1)

בעבור n = 1 שתי הטענות נותנות 16, ולכן נבדוק n = 2:

12 · 3 + 13 · 4 = 212 + 112 = 14

I: 22 · 2 + 4 = 28 = 14

II: 23 · 3 = 29 ≠ 14

טענה II לא נכונה (דוגמה נגדית n = 2). נוכיח את טענה I.

✅ פתרון סופי: טענה I

סעיף ב – הוכחת טענה I באינדוקציה

… + 1(n + 1)(n + 2) = n2n + 4
… + 1(n + 1)(n + 2) = n3(n + 1)

נשים לב: 2n + 4 = 2(n + 2).

שלב 1 – בסיס האינדוקציה: בדיקה בעבור n = 1

📐 אינדוקציה מתמטית

אגף שמאל: 12 · 3 = 16. אגף ימין:

12 + 4 = 16 ✓

שלב 2 – הנחת האינדוקציה:

נניח שהטענה נכונה בעבור n = k, כאשר k טבעי כלשהו:

12 · 3 + … + 1(k + 1)(k + 2)

📐 אינדוקציה מתמטית

1. בסיס: בדיקה בעבור n = 1
2. הנחה: נכון בעבור n = k
3. צעד: נוכיח בעבור n = k + 1
4. מסקנה: נכון לכל n טבעי

סעיף ב – הוכחת טענה I באינדוקציה · המשך

… + 1(n + 1)(n + 2) = n2n + 4
… + 1(n + 1)(n + 2) = n3(n + 1)

12 · 3 + … + 1(k + 1)(k + 2)

= k2(k + 2)

שלב 3 – צעד האינדוקציה: נוכיח בעבור n = k + 1

צריך להוכיח:

12 · 3 + … + 1(k + 2)(k + 3)

= k + 12(k + 3)

נפריד את האיבר האחרון ונציב את ההנחה:

📐 הנחת האינדוקציה

= k2(k + 2) + 1(k + 2)(k + 3)

📐 הנחת האינדוקציה

12 · 3 + … + 1(k + 1)(k + 2)
= k2(k + 2)

סעיף ב – הוכחת טענה I באינדוקציה · המשך

… + 1(n + 1)(n + 2) = n2n + 4
… + 1(n + 1)(n + 2) = n3(n + 1)

= k2(k + 2) + 1(k + 2)(k + 3)

מכנה משותף 2(k + 2)(k + 3):

= k(k + 3) + 22(k + 2)(k + 3)

= k² + 3k + 22(k + 2)(k + 3)

נפרק את המונה, ונבדוק בפתיחת סוגריים:

📐 פתיחת סוגריים

= (k + 1)(k + 2)2(k + 2)(k + 3)

נצמצם את (k + 2):

= k + 12(k + 3) ✓

📐 פתיחת סוגריים

(k + 1)(k + 2)
= k² + 2k + k + 2
= k² + 3k + 2

סעיף ב – הוכחת טענה I באינדוקציה · המשך

… + 1(n + 1)(n + 2) = n2n + 4
… + 1(n + 1)(n + 2) = n3(n + 1)

= k + 12(k + 3) ✓

וזה בדיוק k + 12(k + 1) + 4.

שלב 4 – מסקנה:

הטענה נכונה בעבור n = 1, והוכחנו שאם היא נכונה בעבור n = k אז היא נכונה גם בעבור n = k + 1. לפי עקרון האינדוקציה, הטענה נכונה לכל n טבעי.

✅ פתרון סופי: טענה I הוכחה ✓

📌 ארבעת השלבים של הוכחה באינדוקציה

📐 בסיס והנחה

1. בסיס: בודקים בעבור n = 1
2. הנחה: נכון בעבור n = k

📐 צעד ומסקנה

3. צעד: מוכיחים בעבור n = k + 1
4. מסקנה: נכון לכל n טבעי

💡 בצעד תמיד מפרידים את האיבר האחרון ומציבים את הנחת האינדוקציה.

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא